数学分析反常积分论文选题

问：数学分析：讨论反常积分的敛散性的题目

1. 答：显然，被积函数有n个瑕点，还有两边无穷积分。
   由于a1……an互不相同，故在瑕点ai附近，收敛当且仅当pi<1；
   在正负无穷处，x的最高次项系数为(p1+……+pn)，所以收敛当且仅当Σpi>1
   所以该积分收敛等价于任取i，pi<1，且Σpi>1

问：数学分析题目 求解 关于反常积分的

1. 答：I(0)=0要分开算
   对于a>0，把1/[x(1+x^2)]拆成1/x-x/(x^2+1)
   第一项直接化到条件中的Dirichlet积分
   第二项得另外处理，在复分析里面比较容易，如果在实数域上处理的话要引进Laplace积分
   J(a)=\int_0^\infty cos(ax)/(1+x^2) = \int_0^\infty dx (\int_0^\infty cos(ax) e^{-y(1+x^2)} dy)
   交换积分次序后再用Poisson积分即可算出结果
   最后对J(a)求导得到第二项是pi/2*e^{-a}

问：数学分析反常积分

1. 答：由基本不等式a²+b²≥2ab地
   √f(x)/x^p ≤ ½ [f(x) +1/x^(2p)]
   已知∫[1,+∞]f(x)dx收敛，又因为p＞½，即2p>1，所以∫[1,+∞]1/x^(2p) dx收敛
   故½∫[1,+∞] [f(x) +1/x^(2p)]dx收敛
   由比较原理，∫[1,+∞]√f(x)/x^p dx收敛

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